[ Pobierz całość w formacie PDF ]
an|± = 0, ale an+1|± = 0. W przeciwnym razie dziaÅ‚ajÄ…c kolejny raz operatorem a otrzymalibyÅ›my stan
wÅ‚asny a a odpowiadajÄ…cy ujemnej wartoÅ›ci wÅ‚asnej. Stan an|± jest stanem wÅ‚asnym a a odpowiadajÄ…-
cym wartoÅ›ci wÅ‚asnej (± - n), zatem
(a a)an|± = (± - n)an|± , (4.52)
z drugiej strony
(a a)an|± = a an+1|± = 0 , (4.53)
stÄ…d wniosek, że ± - n = 0. Stan |± - n oznaczamy przez |0 i nazywamy stanem podstawowym (stanem
próżni), jest on jednoznacznie scharakteryzowany równaniem:
a|0 = 0 . (4.54)
Zakładamy, że stan podstawowy jest znormalizowany, czyli:
0|0 = 1 . (4.55)
35
Teraz działając operatorem a możemy ze stanu próżni otrzymywać stany wzbudzone. Znormalizowany
n ty stan wzbudzony oznaczymy przez |n . Spełnia on równanie własne:
a a|n = n|n . (4.56)
Stan |n otrzymujemy poprzez n krotne zadziałanie operatorem a na stan próżni oraz zapewnienie
odpowiedniej normalizacji:
1
"
|n = (a )n|0 . (4.57)
n!
Stany |n są stanami własnymi operatora hermitowskiego, zatem spełniają relację ortogonalności:
m|n = ´mn . (4.58)
Działając operatorami a i a na stan |n otrzymamy odpowiednio stany odpowiadające (n - 1) i (n + 1):
"
a|n = n|n - 1 , (4.59)
"
a |n = n + 1|n + 1 . (4.60)
Wprowadzmy następujące nazewnictwo:
" a a operator liczby wzbudzeń (cząstek)
" a operator anihilacji (deekscytacji)
" a operator kreacji (wzbudzenia)
Wracamy do hamiltonianu oscylatora harmonicznego
1
H = É a a + . (4.61)
2
Ponieważ |n jest stanem własnym a a, to jest także stanem własnym hamiltonianu H:
1 1
H|n = É a a + |n = É n + |n = En|n , . (4.62)
2 2
W ten sposób otrzymujemy widmo hamiltonianu oscylatora harmonicznego bez konieczności rozwiązywa-
nia równania Schrödingera
1
En = É n + . (4.63)
2
Chcielibyśmy jeszcze wyznaczyć funkcje własne hamiltonianu. Zajmijmy się na początek stanem podsta-
wowym (stanem próżni). Jak już wspomnieliśmy, jest on zadany równaniem
a|0 = 0 . (4.64)
W języku funkcji falowej możemy to zapisać w postaci
mÉ i
x = p È0(x) . (4.65)
Æ Æ
2 mÉ
Otrzymujemy równanie różniczkowe na funkcjÄ™ È0
d mÉ
È0 = - xÈ0 . (4.66)
dx
Znormalizowane rozwiązanie tego równania ma postać
1/4
mÉ mÉ
È0(x) = exp - x2 , (4.67)
À 2
jest to po prostu funkcja falowa stanu podstawowego oscylatora harmonicznego. Funkcje falowe stanów
wzbudzonych otrzymamy działając odpowiednią liczbę razy operatorem kreacji a na funkcję falową stanu
podstawowego.
n
1/4 n/2
1 1 mÉ mÉ d mÉ
Èn(x) = " (a )nÈ0(x) = " x - exp - x2 . (4.68)
À 2 mÉ dx 2
n! n!
Formalizm drugiej kwantyzacji jest szeroko używany w wielu dziedzinach współczesnej fizyki teoretycznej
w szczególności w teorii wielu cząstek, na której opiera się chemia kwantowa. %7łeby przekonać się, że
takie podejście pozwala na szybsze i efektywniejsze obliczanie pewnych wielkości, zajmijmy się jeszcze
raz wartością oczekiwaną operatora położenia oraz wartością oczekiwaną energii potencjalnej oscylatora
harmonicznego.
36
Zadanie 30 Obliczyć wartość oczekiwaną operatora położenia w n tym stanie energetycznym oscylatora
harmonicznego
Rozwiązanie 30 Zapiszmy operator położenia przy użyciu operatorów kreacji i anihilacji:
x = (a + a ) . (4.69)
2mÉ
Wartość średnią x możemy zapisać jako
"
"
x = n|x|n = n|a + a |n = ( n n|n - 1 + n + 1 n|n + 1 ) = 0 , (4.70)
2mÉ 2mÉ
gdzie skorzystaliśmy z warunku ortonormalności stanów |n .
Zadanie 31 Obliczyć wartość oczekiwaną operatora energii potencjalnej w n tym stanie energetycznym
oscylatora harmonicznego.
Rozwiązanie 31 Tak jak poprzednio zapisujemy x przy użyciu operatorów a i a , wówczas operator
energii potencjalnej przybiera postać
1 1 É
V = kx2 = k (a + a )2 = (aa + aa + a a + a a ) . (4.71)
2 2 2mÉ 4
Czyli
É
V = n|V |n = ( n|aa|n + n|aa |n + n|a a|n + n|a a |n ) =
4
0 0
(4.72)
"
"
É É 1 1 1
= ( n n|a |n - 1 + n + 1 n|a|n + 1 ) = (n + n + 1) = É n + = En .
4 4 2 2 2
Niewątpliwie obliczenia przy użyciu formalizmu drugiej kwantyzacji są prostsze niż jawne obliczenia w
ramach tzw. pierwszej kwantyzacji.
37
Rozdział 5
Moment pędu
5.1 Rotator sztywny 2-wymiarowy
Rozważmy cząstkę o masie M poruszającą się w płaszczyznie xy po drodze kołowej o promieniu R. Układ
współrzędnych wybieramy tak, aby jego początek znajdował się w środku okręgu, po którym porusza się
cząstka. Ponieważ wszędzie V = 0, to energia całkowita równa jest energii kinetycznej:
p2
E = . (5.1)
2M
Moment pędu związany z obrotem wokół osi z wynosi:
Jz = ±Rp , (5.2)
zatem
2
p2 1 Jz 2 Jz
E = = = , (5.3)
2M 2m R 2I
gdzie I = MR2 jest momentem bezwładności.
Ponieważ Jz = ±Rp, to na podstawie relacji de Broglie a mamy:
hR
Jz = ± (5.4)
»
Rozpatrujemy falÄ™ na okrÄ™gu, wiÄ™c musi ona odtwarzać siÄ™ po peÅ‚nym obrocie (o kÄ…t 2À). Narzuca to
warunek na dÅ‚ugość fali »:
2ÀR
» = , (5.5)
m
gdzie m = 1, 2, 3, ....
StÄ…d:
hR m
Jz = ± = ±hR = m , (5.6)
» 2ÀR
gdzie m = 0, ±1, ±2, ±3, ....
W ten sposób otrzymaliśmy kwantowanie momentu pędu, a zatem i energii:
Jz m2 2
E = = (5.7)
2I 2I
Dotychczasowe rozważania o kwantowaniu momentu pędu były poglądowe jedynie jakościowe. Przeprowadzmy
teraz pełną analizę naszego problemu.
Hamiltonian dla rozpatrywanego układu ma postać:
2
Æ
p2 "2 "2
$ = - + , (5.8)
2M 2M "x2 "y2
z tym, że mamy dodatkowy więz wymuszający ruch po okręgu. Aby uwzględnić ten fakt, najlepiej jest
przejść do współrzędnych biegunowych, w których laplasjan ma postać:
"2 "2 "2 1 " 1 "2
" = + = + + . (5.9)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]